Cauchemar pour certains au collège et au
lycée, l'étude des distances et des angles dans les triangles est utilisée
partout, de l'architecture à l'astronomie. Et si on crédite les Grecs Pythagore
et surtout Hipparque pour son invention, il semble que les Babyloniens les
aient précédés de près de 1.000 ans. Avec une méthode bien plus simple.
Le mathématicien australien Daniel Mansfield pense avoir enfin
percé les secrets de la tablette Plimpton 322, un trésor archéologique vieux de
3.700 ans. Ce chercheur de l'université New South Wales (Australie) publie ses
conclusions dans la revue Historia Mathematica. Et selon
lui, cette sorte de tableau couvert d'inscriptions cunéiformes est une table
trigonométrique pour différents triangles rectangles.
Calculs en base 60 sans cosinus
La différence principale avec la trigonométrie grecque que nous
utilisons de nos jours, c'est que les Babyloniens n'utilisaient ni angles ni
les fonctions complexes sinus, cosinus et tangente. Leur table exprimait
simplement des ratios entre des longueurs. Et parce que leurs mathématiques
étaient en base 60, ils avaient des chiffres exacts et pas des arrondis, ce qui
était pratique pour calculer la pente d'une pyramide ou la diagonale d’un
rectangle.
Le problème de la base 10, c'est qu'elle n'a que deux diviseurs
stricts (2 et 5). La base 60, qu'on utilise encore pour le temps (heure,
minute, seconde), elle, en a dix (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30). Le premier chiffre non diviseur est 7, devenu soit béni, soit démoniaque [1]. Du
coup, une fraction a/b est beaucoup plus souvent un chiffre rond et fini. Un
tiers d'heure est vingt minutes. Essayez de couper une planche de 1m en trois
parties exactement égales, c'est impossible.
Hipparque, lui, s'appuie sur le fameux cercle trigonométrique. Et
si les fonctions mathématiques sinus et cosinus sont également basées sur les
rapports entre les côtés d'un triangle rectangle et l’hypoténuse, on se
retrouve souvent à manipuler des nombres irrationnels du genre Racine (2)/2.
Composé de
quatre colonnes et de 15 rangées de nombres inscrits en cunéiforme, la célèbre
tablette P322 a été découverte au début des années 1900 dans ce qui est
maintenant le sud de l'Irak par l'archéologue, le négociant en antiquités et le
diplomate Edgar Banks, qui a inspiré le personnage de fiction « Indiana
Jones ».
Maintenant
stockée à l'Université de Columbia, la tablette a attiré l'attention dans les
années 1940, lorsque les historiens ont reconnu que ses inscriptions
cunéiformes contiennent une série de nombres faisant écho au théorème de
Pythagore, ce qui explique la relation entre les longueurs des côtés d'un
triangle rectangle. (Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés). Mais pourquoi les scribes anciens ont-ils généré et
trié ces chiffres ?
Les
inscriptions cunéiformes sur Plimpton 322 suggèrent que les Babyloniens
utilisaient une forme de trigonométrie basée sur les rapports des côtés d'un
triangle, plutôt que sur des angles, des sinus et des cosinus qui nous sont
familiers.
Le
mathématicien Daniel Mansfield de l'Université de Nouvelle-Galles du Sud (UNSW)
à Sydney a développé un cours pour les enseignants de mathématiques du
secondaire en Australie lorsqu'il a rencontré une image de P322. Intrigué, il
s'est associé au mathématicien Norman Wildberger de l'UNSW pour l'étudier.
"Il m'a fallu 2 ans pour regarder cette [tablette] et dire:" Je
suis sûr que c'est trigonométrique, je suis sûr que c'est trigonométrique, mais
comment? ", a déclaré M. Mansfield. Les sinus, les cosinus et les
angles utilisés par les astronomes grecs et les lycéens modernes manquaient
complètement sur la tablette. Au lieu de cela, chaque entrée comprend des
informations sur les deux côtés d'un triangle rectangle: le rapport du côté
court au côté long et le rapport du côté court à la diagonale ou hypoténuse. Mansfield
s'est rendu compte que l'information dont il avait besoin avait des pièces
manquantes dans la P322, mais elles avaient
été reconstruites par d'autres chercheurs. "Ces deux ratios de la
reconstruction ont vraiment fait de la P322 une table trigonométrique propre et
facile à utiliser", dit-il.
Lui et
Wildberger ont conclu que les Babyloniens
ont exprimé la trigonométrie en termes de rapports exacts de la longueur des
côtés droits des triangles , plutôt que par des angles, en utilisant leur
mathématiques en base 60, qu’ils rapportent aujourd'hui dans Historia
Mathematica. "Il s'agit d'une façon complètement différente de
regarder la trigonométrie", dit Mansfield. "Nous préférons les
sinus et les cosinus ... mais nous devons vraiment sortir de notre propre
culture pour voir leur point de vue pour pouvoir les comprendre".
Si la nouvelle
interprétation est correcte, la P322 ne contiendrait pas seulement la première
preuve de la trigonométrie, mais elle représenterait également une forme exacte
de la discipline mathématique, plutôt que les approximations que les valeurs
numériques estimées que les sinus et les cosinus fournissent, note Mathieu
Ossendrijver, Historien de la science ancienne à l'Université Humboldt à
Berlin. La table, dit-il, contient des valeurs exactes des côtés pour une gamme
de triangles rectangles. Cela signifie que, comme pour les tables
trigonométriques modernes, quelqu'un utilisant le rapport connu de deux côtés
peut utiliser des informations dans la tablette pour trouver les rapports des
deux autres côtés.
L'historienne
mathématique Christine Proust, du Centre national français de la recherche
scientifique à Paris, spécialiste de la tablette, appelle l'hypothèse de
l'équipe «une idée très séduisante». Mais elle souligne qu'aucun texte
babylonien connu ne suggère que la tablette ait été utilisée pour résoudre ou comprendre
les triangles rectangles. L'hypothèse est «mathématiquement robuste, mais
pour l'instant, elle est très spéculative», dit-elle.
Pourquoi une heure dure 60 minutes ? Et une minute, 60 secondes ?
Même si
certaines périodes de notre histoire ont pu faire exception, le fait qu'une
heure compte 60 minutes et que chaque minute compte à son tour 60 secondes est
ancré dans notre civilisation depuis l'Antiquité. Il faut dire que la base 60
se révèle des plus pratiques. Découvrez pourquoi.
Pour
comprendre pourquoi une heure dure 60 minutes et pourquoi une minute
dure 60 secondes, il faut remonter à l'Antiquité. En effet, il y a quelque 3.000 ans av.
J.-C., nos ancêtres babyloniens ont choisi de découper l'année en 12 mois de 30
jours. Pour cela, ils se sont basés sur les cycles lunaires et la période de révolution
de la Terre autour du Soleil ainsi que sur leur façon de compter sur
les phalanges des doigts avec leur pouce. C'est donc
tout naturellement qu'ils ont également trouvé 360 divisions — 12 × 30 =
360, soit 360 degrés — au cercle.
Plus
généralement, les Babyloniens avaient, semble-t-il, un faible pour le calcul en
base 60. Peut-être parce que, contrairement au nombre 10, le
nombre 60 possède de nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,
20 et 30. De quoi faciliter en effet les calculs.
Pourquoi les jours durent 24 heures ?
Si les jours durent 24
heures, c'est également un héritage de nos ancêtres sumériens. On imagine que, comme
ils avaient déjà découpé l'année en 12 mois, ils ont probablement estimé
cohérent de découper le jour en 12 heures et la nuit en 12 heures
aussi, soit un total de 24 heures.