La séquence de Fibonacci est partout — même dans le marché boursier en difficulté

La curieuse série de chiffres apparaît dans la nature et aussi dans les activités humaines.

Préambule

Certains historiens situent le début de la Renaissance de l’Occident avec la chute de Constantinople en l’an 1453, qui a provoqué, par peur de persécution ottomane, la fuite de cerveaux byzantins vers Florence, capitale de la Toscane, une région située au centre-ouest de l’Italie. D’autres situent le début de la Renaissance avec l’introduction en Europe des chiffres indo-arabes par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci.

Leonardo Fibonacci (v. 1175 à Pise, Italie – v. 1250) est un mathématicien italien. Il avait, à l’époque, pour nom d’usage « Leonardo Pisano » (il est encore actuellement connu en français sous l’équivalent « Léonard de Pise »), et se surnommait parfois lui-même « Leonardo Bigollo » (bigollo signifiant « voyageur » en italien).

Né à Pise en Italie, son éducation s’est faite en grande partie en  Algérie. Son père, Guilielmo Bonacci, vivait à Béjaïa (Bougie, Bgayet, Bugia [a]) où il était le représentant des marchands de la république de Pise. C’est dans cette ville portuaire, qui est à l’époque un centre commercial et intellectuel, que Fibonacci commence son éducation en mathématiques. Ayant aussi voyagé en Égypte, en Syrie, en Sicile, en Provence pour le compte de son père, et rencontré divers mathématiciens, Fibonacci en rapporta à Pise en 1198 les chiffres arabes et la notation algébrique (dont certains attribuent l’introduction à Gerbert d’Aurillac [2]). Ceci illustre les liens entre la vitalité commerciale des villes d’Italie de l’époque et la créativité scientifique et artistique de leurs membres.

Son Liber abaci (aussi écrit Liber abbaci) est un ouvrage écrit en 1202 que l’on peut traduire en Livre du calcul ou Livre de l’abaque.

Dans cet ouvrage, Fibonacci présente les chiffres arabes et le système d’écriture décimale positionnelle qu’il avait appris en étudiant auprès de savants arabes à Béjaia. Le Liber abaci est l’un des premiers ouvrages d’Europe occidentale chrétienne, après le Codex Vigilanus (en) en 976 et les écrits du pape Sylvestre II en 999 (Gerbert d’Aurillac), à vulgariser les chiffres arabes. Il s’adresse aux marchands et aux savants mathématiciens de son temps.

Le livre des calculs est un traité sur les calculs et la comptabilité fondée sur le calcul décimal à une époque où tout l’Occident utilisait encore les chiffres romains et calculait sur abaque. Ce livre est fortement influencé par sa vie dans les pays nord-africains ; il est d’ailleurs rédigé en partie de droite à gauche.

Par cette publication, Fibonacci introduit le système de notation indo-arabe en Europe. Ce système est plus puissant et plus rapide que la notation romaine, et Fibonacci en est pleinement conscient. L’invention sera d’abord mal reçue car le public ne comprenait plus les calculs que faisaient les commerçants. En 1280, Florence interdit même l’usage des chiffres arabes par les banquiers. On jugea que le 0 apportait la confusion et des difficultés au point qu’ils appelèrent ce système cifra, qui dérive du nom arabe du zéro (al sifr = vide, zéro). Ce serait par l’usage des nombres dans la tradition cabalistique que le mot chiffre aurait acquis le sens de code secret.

Fibonacci est plus connu de nos jours pour un de ses problèmes conduisant aux nombres et à la suite qui portent son nom, mais à son époque, ce sont surtout les applications de l’arithmétique au calcul commercial qui l’ont fait reconnaître : calcul du profit des transactions, conversion entre monnaies de différents pays. Son travail sur la théorie des nombres était ignoré de son vivant, mais il fut très largement lu pendant les deux siècles qui suivirent. Ses travaux sont désormais très utilisés en finance de marché, et en particulier en analyse technique.

[a] (Source Wikipédia) Béjaïa ou Bougie (en berbère : ⴱⴳⴰⵢⴻⵜ [Vgayet ou Bgayet], en arabe : بجاية), est une commune algérienne située en bordure de la mer Méditerranée, à 220 km à l'est d'Alger. Elle est le chef-lieu de la wilaya de Béjaïa et de la daïra de Béjaïa, en Petite Kabylie.

Connue à l'époque romaine sous le nom de Saldae, elle est promue capitale du royaume vandale [voir Hannibal et Genséric, nos glorieux ancêtres] avant d'être islamisée au VIII^e siècle. Cité berbère modeste, elle devient une prestigieuse capitale sous les Hammadides au XI^e siècle et un foyer religieux, commercial et savant de la Méditerranée. Après un intermède almohade, elle redevient la capitale d'une branche des Hafsides.

Réputée en Europe pour la qualité de ses chandelles faites de cire d'abeille — auxquelles elle a donné son nom : les bougies — Béjaïa a également joué un rôle important dans la diffusion en Occident des chiffres arabes et des savoirs mathématiques locaux. Au Moyen Âge, des savants comme Raymond Lulle, Fibonacci et Ibn Khaldoun y étudient. 

Hannibal Genséric

---------------------------------------------------------Vendredi, alors que la bourse américaine clôturait sa pire semaine depuis 2008 au milieu des turbulences liées aux coronavirus (avant de se remettre un peu tôt cette semaine), les investisseurs se sont retrouvés avec une question flagrante: est-ce que tout est en baisse d'ici? Au milieu de telles turbulences économiques, certaines études de marché se tournent vers un ensemble familier et puissant de chiffres pour prédire l'avenir.

Le «retracement de Fibonacci» est un outil que les analystes techniques utilisent pour guider leurs perspectives sur les comportements d'achat et de vente sur les marchés. Cette technique tire son nom et dérive de la célèbre séquence de Fibonacci, un ensemble de nombres aux propriétés liées à de nombreux phénomènes naturels. Bien que l'utilisation de ces chiffres pour prédire les mouvements du marché soit beaucoup moins sûre que de l'utiliser pour calculer les modèles de graines de tournesol, l'apparition de la séquence dans le domaine de la finance est un autre témoignage de sa capacité à capturer l'imagination humaine.

C'est quoi la séquence de Fibonacci?

La séquence de Fibonacci est un célèbre groupe de nombres commençant par 0 et 1 dans lequel chaque nombre est la somme des deux précédents. Il commence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et continue indéfiniment. Le motif cache un puissant secret: si vous divisez chaque nombre de la séquence par son prédécesseur (à l'exception de 1 divisé par 0), alors que vous vous déplacez vers des nombres plus élevés, le résultat converge vers le phi constant, ou environ 1,61803, autrement connu sous le nom de nombre d'or.

La séquence a une longue histoire. En Europe, c'était la solution à un problème d'élevage de lapins décrit dans le livre Liber Abaci du mathématicien italien Fibonacci, aka Leonardo de Pise en 1202 après JC. Mais le modèle était connu en Inde beaucoup plus tôt, peut-être même au VIIe siècle. Le nom de la séquence provient d'un surnom, Fibonacci, qui signifie «fils de Bonacci», accordé à Léonard de Vinci au XIXe siècle, selon le livre de Keith Devlin Finding Fibonacci: La quête de redécouvrir le génie mathématique oublié qui a changé le monde. Le mathématicien Eduoard Lucas a ensuite donné le nom de «séquence de Fibonacci» dans les années 1870 à la séquence dérivée du scénario du lapin. (Il est également apparu en comptant le nombre d'abeilles dans les générations successives).

Le nombre d'or apparaît dans les phénomènes naturels. Les nombres de spirales dans les pommes de pin sont des nombres de Fibonacci, tout comme le nombre de pétales dans chaque couche de certaines fleurs. 

Dans les plantes en forme de spirale, chaque feuille pousse sous un angle par rapport à son prédécesseur de 360/phi², et les graines de tournesol sont emballées dans une formation en spirale au centre de leur fleur dans une géométrie régie par le nombre d'or également.

"L'attractivité du Ratio d’or découle d'abord et avant tout du fait qu'il a une façon presque étrange d'apparaître là où il est le moins attendu", écrit Mario Livio dans The Golden Ratio: L'histoire de Phi, le numéro le plus étonnant du monde.

Mais pourquoi cette séquence est-elle si omniprésente? "Beaucoup de choses en mathématiques et probablement dans le monde réel sont régies par de simples règles récursives, où chaque occurrence est régie par une formule simple en termes de l'occurrence précédente", a déclaré Ken Ribet, professeur de mathématiques à l'Université de Californie, Berkeley. "Et un nombre de Fibonacci a la formule la plus simple possible, juste la somme des deux précédents."

Fibonacci va au marché

Les humains sont câblés pour identifier les modèles, et en ce qui concerne les nombres de Fibonacci, nous ne nous limitons pas à rechercher et à célébrer la séquence dans la nature. Fibonacci et phi peuvent être trouvés dans certaines œuvres d'art, d'architecture et de musique (même si c'est un mythe que les pyramides d'Égypte y sont pour quelque chose). Et tandis que le comportement d'achat et de vente est en grande partie imprévisible, certains analystes financiers jurent qu'ils peuvent également voir ces chiffres jouer là-bas, y compris dans la crise économique actuelle.

Les chercheurs en investissement appelés «analystes techniques» examinent les formes historiques des graphiques pour déterminer si une tendance actuelle d'achat ou de vente se poursuivra ou se renversera. Certains font leurs prédictions en utilisant des «niveaux de retracement de Fibonacci», dérivés de la célèbre séquence.

Les analystes techniques peuvent examiner toute une série de nombres correspondant aux ratios de nombres dans la séquence de Fibonacci, mais quelques-uns importants sont 61,8% et 38,2%. Tout nombre de Fibonacci donné divisé par son successeur se rapproche de 1 / phi, ou 0,618. Un nombre de Fibonacci divisé par le nombre deux places plus haut dans la séquence se rapproche de 0,382.

Par exemple, considérons le S&P 500. Au plus profond de la récession de 2008, l'indice a atteint son point le plus bas en 2009 à 666 points. Depuis lors, il a généralement connu une ascension à long terme, atteignant un pic de 3.393 avant le plongeon induit par le coronavirus au cours des dernières semaines.

Pour donner un sens aux tendances de ce ralentissement actuel, Katie Stockton, fondatrice et associée directrice du cabinet d'analyse technique Fairlead Strategies, LLC à Stamford, Connecticut, examine si les indices et les actions clés franchissent différents niveaux. Si vous prenez le plus bas de 666 en 2009 en bas (0%) et le plus haut en 2020 de 3.393 en haut (100%), Stockton cherche à savoir si le S&P 500 ferme deux vendredis de suite en dessous de ce qu'elle identifie comme le " niveau de soutien » de 38,2%. Ce niveau correspond au maximum de 3.393 moins 1.042 (38,2% de la différence entre le haut et le bas), qui s'élève à 2351.

Jusqu'à présent pendant la crise, les prix n'ont pas baissé si bas deux vendredis consécutifs, bien que le 20 mars l'indice ait clôturé à un sombre 2304,92. Si elle clôture le 27 mars en dessous du niveau de Fibonacci de 2351, ce serait la deuxième strike consécutive. Cela indiquerait à des analystes comme Stockton que le S&P risque de glisser plus loin au niveau de 61,8%, soit environ 1708, ce qui rend le moment d'achat moins optimal, selon ce point de vue.

Une prophétie auto-réalisatrice?

Ribet, le mathématicien, rejette l'idée de rechercher des modèles liés à la séquence de Fibonacci pour prédire les marchés. Mais même s'il n'est pas vrai que les chiffres de Fibonacci soient liés aux forces fondamentales du marché, les marchés, par leur conception, réagissent aux croyances de leurs joueurs. Donc, si les investisseurs achètent en masse à cause de l'analyse de Fibonacci, ils créent de toute façon une tendance à la hausse; de même pour la vente.

Stockton reconnaît que cela explique au moins en partie le mouvement de l'or l'année dernière lorsque les investisseurs ont étroitement surveillé si le prix d'une once augmenterait au-delà d'un niveau particulier de Fibonacci. Les prix de l'or ont chuté de manière significative de 2012 à 2015, puis ont rebondi entre environ 1200 $ et 1400 $ l'once pendant quatre ans jusqu'en juin 2019, date à laquelle il semblait être à nouveau en hausse.

"Ce fut un grand breakout de Fibonacci que beaucoup de gens regardaient, même dans la mesure où il est devenu un niveau si largement suivi que je pense qu'il devient une propriété auto-réalisatrice", a déclaré Stockton.

L'idée que les nombres de Fibonacci régissent le commerce des actions humaines pourrait être une pensée magique, mais suffisamment de personnes ayant la même pensée magique peuvent déplacer les marchés. Alors que nous nous préparons à plus de chaos, au moins nous pouvons tous nous consoler en sachant que les nombres de Fibonacci eux-mêmes sont éternels.

Source : The Fibonacci Sequence Is Everywhere—Even the Troubled Stock Market

By Elizabeth Landau  

smithsonianmag.com
March 25, 2020

NOTES de Hannibal Genséric

[1] L’harmonie d’Or

Découverte du nombre d’or dans les dimensions de l’utérus

Pourquoi aucune marguerite ne compte 6 ou 9 ou 12 pétales ?

[2] Dans Les Arabes précurseurs de l’ère numérique , nous avions écrit : Transmission des chiffres arabes en Europe et au reste du monde

- Une première tentative a été faite par le pape de l’an 1000, Sylvestre II. Premier pape français, Sylvestre II, né Gerbert d’Aurillac, est aussi un grand savant et un acteur politique majeur. Né vers 945 dans une famille de paysans, Gerbert est éduqué à l'abbaye Saint-Géraud d'Aurillac, dans un esprit moderniste. Remarqué par le comte de Barcelone, le garçon poursuit son instruction dans les abbayes catalanes. Il y découvre le « quadrivium », c'est-à-dire les quatre sciences profanes de son époque : l'arithmétique (dont la numération indo-arabe), la géométrie, la musique et l'astronomie, à travers des manuscrits en latin traduits de l'arabe. …Devenu pape en 999, sous le nom de Sylvestre II, il use de toute son autorité pour imposer les chiffres arabes chez les chrétiens, à la place des chiffres romains peu pratiques. Sa tentative va échouer, à cause de la résistance des savants de l’Église, qui considéraient que tout ce qui venait des Sarrasins (les Arabes et les Berbères) ne pouvait qu’être diabolique. On accusa même ce pape d’être habité par le diable. Cette légende a eu la vie tenace, à tel point qu’en 1648, six siècles plus tard, l’autorité pontificale fit ouvrir le tombeau de Sylvestre II pour vérifier si les diables de l’enfer ne l’habitaient point !

- Deux siècles plus tard, une deuxième tentative va réussir : c’est celle de Fibonacci.

Hannibal GENSÉRIC